标题: 希尔伯特的二十三个问题[转载] 在爱因斯坦因狭义相对论声名大振之后，出于对物理的极大兴趣以及对同学、挚友闵 科夫斯基(曾经是爱因斯坦的数学老师)的怀念，希尔伯特邀请爱因斯坦到哥廷根做了 六天的演讲。期间，希尔伯特同样引起了爱因斯坦的极大兴趣。 在此次爱因斯坦演讲基础上，希尔伯特依赖非凡的领悟力以及深不可测的数学功底， 对此进行了深入研究，最终比爱因斯坦提前五天向瑞典科学院独立提交了关于广义相 对论的数学方程以及一系列推广(推广部分后来被证明有误)。 但是，在做发言时，一贯谦虚的希尔伯特将成果完全归功于爱因斯坦！毕竟他不是职 业的物理学家。1915年希尔伯特亲自提名将鲍耶奖授予爱因斯坦。 与之形成鲜明对的是，爱因斯坦获悉希尔伯特先他提交论文，在给友人的信中写道， 8年的成果已经得到，全世界只有一个人能够看懂，可现在他要剽窃我的成果。事后 又因希尔伯特并未利用他在学术界的巨大声誉与爱因斯坦争夺优先权，爱因斯坦写信 向希尔伯特表示了些许歉意。 值得一提的是，希尔伯特的推导远比爱因斯坦简洁、优美，主要原因在于广义相对论 对数学的依赖性太强，爱因斯坦本人的数学基础并不好。爱因斯坦用了8年的时间， 这不是没有原因的。为此，希尔伯特曾委婉地开过一个玩笑，哥廷根的小孩对四维空 间的理解都比任一物理学家要多，但他们不是物理学家。 爱因斯坦晚年致力于引力场与电磁场的"小统一场论"，终无所获。希尔伯特却从纯粹 数学的角度对统一场论做出了开创性的贡献。 无论从抵制战争、反对纳粹来看，还是从学术成就、学术风范来看，希尔伯特的一生 都是伟大的、真正值得尊敬的。他是雅利安民族的骄傲，是德国人民的骄傲，也是全 世界数学家的骄傲！ 下面是希尔伯特著名的二十三个问题。数学领域的最高荣誉是菲尔茨奖，有半数以上 获奖者的工作与希尔伯特问题有关。 希尔伯特的23个问题分属四大块，第1到第6问题是数学基础问题；第7到第12问题是 数论问题；第13到第18问题属于代数和几何问题；第19到第23问题属于数学分析。 (1) 康托的连续统基数问题 1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假 设。1938年，侨居美国的奥地利数理逻辑学家哥德尔证明连续统假设与ZF集合论公理 系统的无矛盾性。1963年，美国数学家科思(P.Choen)证明连续统假设与ZF公理彼此 独立，因而，连续统假设不能用ZF公理加以证明。在这个意义下，问题已获解决。 (2) 算术公理系统的无矛盾性 欧氏几何的无矛盾性可以归结为算术公理的无矛盾性。希尔伯特曾提出用形式主义计 划的证明论方法加以证明，哥德尔1931年发表不完备性定理作出否定答案。根茨 (G.Gentaen，1909-1945)1936年使用超限归纳法证明了算术公理系统的无矛盾性。 (3) 只根据合同公理证明等底等高的两个四面体有相等之体积是不可能的 问题的意思是：存在两个等底等高的四面体，它们不可能被分解为有限个小四面体， 使得这两组四面体彼此全等。另一种表述是，已知两个多面体有相同体积，能否把 其中一个多面体分割成有限块再将之组合成另一个。希尔伯特的学生马克斯・德恩 (M.Dehn)以一个反例证明这是不可能的。 (4) 两点间以直线为距离最短线问题 此问题提得一般。满足此性质的几何很多，因而需要加以某些限制条件。1973年，苏 联数学家波格列洛夫(Pogleov)宣布，在对称距离情况下，问题获解决。 (5) 拓扑学成为李群的条件(拓扑群) 这一个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群。1952年， 由格里森(Gleason)、蒙哥马利(Montgomery)、齐宾(Zippin)共同解决。1953年，日 本的山迈英彦已得到完全肯定的结果。 (6) 对数学起重要作用的物理学的公理化 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫将概率论公理化。后来，在量子力学、量子场论方 面取得成功。但对物理学各个分支能否全盘公理化，很多人有怀疑。 (7) 某些数的超越性的证明 需证：如果α是代数数，β是无理数的代数数，那么αβ一定是超越数或至少是无理 数(例如，2√2和eπ)。苏联的盖尔封特(Gelfond)1929年、德国的施奈德(Schneider) 及西格尔(Siegel)1935年分别独立地证明了其正确性。但超越数理论还远未完成。目 前，确定所给的数是否是超越数，尚无统一的方法。 (8) 素数分布问题，尤其是黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数问题 素数是一个很古老的研究领域。希尔伯特在此提到黎曼(Riemann)猜想、哥德巴赫 (Goldbach)猜想以及孪生素数问题。黎曼猜想至今未解决。哥德巴赫猜想和孪生素 数问题目前也未最终解决，其最佳结果均属中国数学家陈景润。 (9) 一般互反律在任意数域中的证明 1921年由日本的高木贞治，1927年由德国的阿廷(E.Artin)各自给以基本解决。而类 域理论至今还在发展之中。 (10) 能否通过有限步骤来判定不定方程是否存在有理整数解 求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图(约210-290，古希腊数学家)方程可解。 1950年前后，美国数学家戴维斯(Davis)、普特南(Putnan)、罗宾逊(Robinson)等取 得关键性突破。1970年，巴克尔(Baker)、费罗斯(Philos)对含两个未知数的方程取 得肯定结论。1970年。苏联数学家马蒂塞维奇最终证明：在一般情况答案是否定的。 尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学 有密切联系。 (11) 一般代数数域内的二次型论 德国数学家哈塞(Hasse)和西格尔(Siegel)在20年代获重要结果。60年代，法国数学 家魏依(A.Weil)取得了新进展。 (12) 类域的构成问题 即将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去。此问题仅有一些零星 结果，离彻底解决还很远。 (13) 一般七次代数方程以二变量连续函数之组合求解的不可能性 七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c；x=x(a,b,c)。这一函数能 否用两变量函数表示出来？此问题已接近解决。1957年，苏联数学家阿诺尔德(Arnold) 证明了任一在[0,1]上连续的实函数f(x1,x2,x3)可写成形式∑hi(ξi(x1,x2),x3)(i=1--9)， 这里hi和ξi为连续实函数。柯尔莫哥洛夫证明f(x1,x2,x3)可写成形式 ∑hi(ξi1(x1)+ξi2(x2)+ξi3(x3))(i=1--7)这里hi和ξi为连续实函数，ξij的选 取可与f完全无关。1964年，维土斯金(Vituskin)推广到连续可微情形，对解析函数 情形则未解决。 (14) 某些完备函数系的有限的证明。 即域K上的以x1,x2,…,xn为自变量的多项式fi(i=1,…，m)，R为K[X1,…,Xm]上的有 理函数F(X1,…,Xm)构成的环，并且F(f1,…,fm)∈K[x1,…,xm]，试问R是否可由有限 个元素F1,…,FN的多项式生成？这个与代数不变量问题有关的问题，日本数学家永田 雅宜于1959年用漂亮的反例给出了否定的解决。 (15) 建立代数几何学的基础。 荷兰数学家范德瓦尔登1938年至1940年，魏依1950年已解决。 注一舒伯特(Schubert)计数演算的严格基础。 一个典型的问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？ 舒伯特给出了一个直观的解法。希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础。现在 已有了一些可计算的方法，它和代数几何学有密切的关系。但严格的基础至今仍未建 立。 (16) 代数曲线和曲面的拓扑研究 此问题前半部涉及代数曲线含有闭的分支曲线的最大数目。后半部要求讨论备 dx/dy=Y/X的极限环的最多个数N(n)和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。对 n=2(即二次系统)的情况，1934年福罗献尔得到N(2)≥1；1952年鲍廷得到N(2)≥3； 1955年苏联的波德洛夫斯基宣布N(2)≤3，这个曾震动一时的结果，由于其中的若干 引理被否定而成疑问。关于相对位置，中国数学家董金柱、叶彦谦1957年证明了 (E2)不超过两串。1957年，中国数学家秦元勋和蒲富金具体给出了n＝2的方程具有 至少3个成串极限环的实例。1978年，中国的史松龄在秦元勋、华罗庚的指导下，与 王明淑分别举出至少有4个极限环的具体例子。1983年，秦元勋进一步证明了二次系 统最多有4个极限环，并且是(1,3)结构，从而最终地解决了二次微分方程的解的结构 问题，并为研究希尔伯特第(16)问题提供了新的途径。 (17) 半正定形式的平方和表示 实系数有理函数f(x1,…,xn)对任意数组(x1,…,xn)都恒大于或等于0，确定f是否都 能写成有理函数的平方和？1927年阿廷已肯定地解决。 (18) 用全等多面体构造空间 德国数学家比贝尔巴赫(Bieberbach)1910年，莱因哈特(Reinhart)1928年作出部 分解决。 (19) 正则变分问题的解是否总是解析函数 德国数学家伯恩斯坦(Bernrtein，1929)和苏联数学家彼德罗夫斯基(1939)已解决。 (20) 研究一般边值问题 此问题进展迅速，己成为一个很大的数学分支。日前还在继读发展。 (21) 具有给定奇点和单值群的Fuchs类的线性微分方程解的存在性证明 此问题属线性常微分方程的大范围理论。希尔伯特本人于1905年、勒尔(H.Rohrl)于 1957年分别得出重要结果。1970年法国数学家德利涅(Deligne)作出了出色贡献。 (22) 用自守函数将解析函数单值化 此问题涉及艰深的黎曼曲面理论，1907年克伯(P.Koebe)对一个变量情形已解决而使 问题的研究获重要突破。其他方面尚未解决。 (23) 发展变分学方法的研究 这不是一个明确的数学问题。20世纪变分法有了很大发展。