标题: 三角形的内角和等于180度吗

2026.4.8

之前说过，在一本老书《有理数与无理数》的习题中看到一道有意思的题，求
sin(18°)的解析解。

https://mp.weixin.qq.com/s/7hvxpXFcn3EFzAP-PF68SA

网友们已经给了正确解答。

一种是几何法，构造顶角为18度的等腰三角形，做某一底角的角平分线，出现两个相
似三角形，正弦定理一套，出现一元二次方程。

另一种是纯代数法，演示一下，很有意思。

设A=18，有

sin(3A)=cos(2A)

sin(3A)=3sinA-4sin^3(A)
cos(2A)=cos^2(A)-sin^2(A)=1-2sin^2(A)

3sinA-4sin^3(A)=1-2sin^2(A)

令x=sinA，有

3x-4x^3=1-2x^2
4x^3-2x^2-3x+1=0
(x-1)(4x^2+2x-1)=0

因为0<x<1，有

x=(-2+√20)/8=(√5-1)/4

就说有不有意思吧。

因提及老书，readyu留言提到：“初中时，看过一本小册子《三角形的内角和等于
180度吗》，内容是非欧几何入门，从第五公设到罗氏几何、黎曼几何，太精彩了。
就那样一本小书，从此改变了我的宇宙观。”

我说：“初中就应该讲这些，正是启蒙的最佳时机，第五公设的传奇能勾起无数好奇
的少年。”

readyu提到的这本书，我搞了一本电子版，发给他。翻了一下，1981年的，归类为“
中学生课外读物”。

三角形的内角和等于180吗_王宗儒_1981_10068553.pdf

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自然。

作者在前言里写道：这本小册子是为青少年数学爱者写的，目的是向读者介绍一些有
关欧氏几何和非欧几何的初步知识。希望在扩充读者的知识域，培养逻辑思维能力和
发展空间想象能力等方面，能有所帮助。考虑到非欧几何的逻辑性较强，接受起来并
不容易，我采用中学生所熟悉的“三角形三个内角的和等于180度”这个定理作为谈
话的引子，把读者引进非欧几何的大门，接着再叙述几何发展的历史过程。在能接受
的前提下，证明了38个定理，介绍了“五组公理”和罗巴切夫斯基几何的初步知识，
并利用模型对罗巴切夫斯基几何和黎曼几何作了简单的解释。在特定的条件下，把欧
氏、罗氏和黎氏三种流派的几何统一起来。最后采用回答问题的方式，用常见的事例
来说明非欧几何在现实空间中的实际意义和在相对性原理上的应用，以加深读者对这
方面知识的理解。

不必担心看过此书(非欧几何)对当下教学内容产生干扰。相反，此书有助于初中生强
化“逻辑”概念，比如:

P50 前面我们曾用到“等价”这个词，现在严格地定义“等价命题”。

定义: 如果在某一公理系统里，由命题A能推出命题B；反过来在这个公理系统里由命
题B能推出命题A；那么就称命题A和命题B是等价的。

历史上各路数学家前仆后继地试图证明第五公设(等价于过线外一点有且只有一条平
行线)，他们失败的一大原因是循环论证，潜在引用了被证命题的等价表述而不自知。
作者在书中选择性展示了其中11个第五公设等价命题，很扎实的数学科普史。

P55 象这样的错误，稍有疏忽，在今天也会出现。例如1979年，高等学校招生试题中
有一道题：“证明勾股定理”。同学们(考生)应用余弦定理，解析几何中两点间距离
公式和sinα^2+cosα^2=1等定理作为依据来证明勾股定理，他们忽略了上面这些定
理都是以勾股定理为依据才能推导出来的。这是在兜圈子，犯了“循环论证”的错误，
是逻辑思维上的错误。

二十一世纪的高考当然不可能再出现求证勾股定理，毕竟那是1979年，除了历史盲之
外，一般不会对此感到惊讶。但所暴露的(循环论证)问题，对现在的初中生而言，仍
是常见错误，应及早发现并纠正之。

念及此间，相比过去，现行初中数学教材支离破碎，跳过对公理体系、逻辑推导的全
景式科普，跳过反证法、同一法、存在性、完备性等逻辑思考教学，美其名日“教改”，
改尼玛个头。

再说此书，绝非什么武功秘籍，倒是不妨视之为过滤器，若开卷入迷，不多说，反之，
别报什么这班那班了，认清现实，普通应试吧。

小时候我也看过非欧几何的科普读物。我哥是地区数学协会的，最早是他给我讲第五
公设的传奇，罗巴切夫斯基、约·波里埃的勇敢，高斯的退缩，黎曼的继承发扬，讲
那严重违反日常直觉但并无逻辑矛盾的另两套几何体系。每次他给我讲这些时，我都
充满兴趣。

我认为，最晚不要晚于初二接触这些概念。这些东西，对应试教育没有帮助，但它们
可以激发对“逻辑”的兴趣。兴趣与天资没有必然联系，没有天资的人，若能在少年
时代得到正确启蒙，则可凭借兴趣在一定程度上弥补天资不足。这正是尽早接触这些
东西的意义所在。