标题: 梅涅劳斯定理(Menelaus)

https://scz.617.cn/misc/202605262207.txt
https://mp.weixin.qq.com/s/69r7DV13KAkHWI1kYi0sTg

若一直线交△ABC三边所在直线于X、Y、Z，有

(XB/XC)*(YC/YA)*(ZA/ZB)=1

我上初中时，教材里没这个定理，老师没讲过，不记得课本习题里是否出现过。总之，
几十年后才注意到它。网友UID(1412802191)说他上初中时，教材里没有，但他的老
师给他们在课堂上讲过，并且中考时可直接用此定理，无需现场证明，打的就是信息
差。在某些公众号里看到TA们当地的中考出现过与此定理相关的大题，不知北京西城
区情况如何？

扯个远的，看过四川、湖北两省多地的中考题，从中摘过若干加权费马点的题。某朋
友的小孩，西城的，今年中考，让TA做了做，做了其中一道，其余三道据其反馈，不
考。我猜，TA是指相关知识点不在考纲范围内。假设TA说的差不离，那就有一个结论，
西城的中考难度低于四川、湖北两省那些地市。

扯回Menelaus，现在流行证法是，作辅助线，用相似比证。

既然是中考才可能涉及，彼时正弦定理早已登场，用正弦定理很容易证此定理。

梅涅劳斯定理.jpg

如图，依正弦定理有

XB/ZB=sin(BZX)/sin(BXZ)
YC/XC=sin(CXY)/sin(CYX)
ZA/YA=sin(AYZ)/sin(AZY)

相乘，正弦替换，得

(XB/XC)*(YC/YA)*(ZA/ZB)=1

还可用面积法证梅涅劳斯定理，但那些我都不喜欢，正弦定理这么大的杀器，简洁明
了。

无论X、Y、Z在哪里，辅助记忆法，在△ABC中从B开始逆时针找C、A，依次确定三条
直线BC、CA、AB。X、Y、Z三点依次落在直线BC、CA、AB上，相乘的三个因式呈轮换
对称性。有些人说此定理没有美感，那是TA没注意到轮换对称性。

此定理无需区分X、Y、Z相对△ABC的位置。有些教师讲梅涅劳斯定理，分什么内外，
纯属自己加戏。

梅涅劳斯定理的逆定理也成立，(XB/XC)*(YC/YA)*(ZA/ZB)=1时，X、Y、Z三点共线。
可用同一法证明。