标题: 阿氏圆极值题的另类解法

创建: 2026-06-08 13:53
更新:
链接: https://scz.617.cn/misc/202606081353.txt
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在△ABC中∠ACB=30，BC=2，D是BC中点，E在射线AD上，满足∠ABE=∠ADB。求CE最小
值、最大值。

此题有个初中阿氏圆解法，太隐蔽了。没见识过这种题型的，比如我，哪里想得到往
阿氏圆上靠。而且之前还忽略了E在射线上，误以为E是形内点。当时在渣浪问这题是
不是出得有问题(其实无)，从网友UID(1412802191)那儿得到一个神奇思路。

他猜出E的轨迹可能是圆。这也能猜出来？离谱，什么神仙数感。假设B点是原点，取
∠ABC，分别为0、30、60度，算出E的坐标。得到圆方程(x+1/2)²+(y+√3/2)²=3。剩
下的就很好办。

我细说一下他这个思路，设圆方程为

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

设B为(0,0)，调整∠ABC，使之依次为0、30、60度，E的坐标分别是

(-2,0)      // 利用相似比可证此时EB=BC
(1,-√3)    // AE⊥BC
(1,0)       // E、D重合

代入圆方程，求解a、b、r。这三个点比较特殊，可巧解三元二次方程组。

观察E的三个坐标，显然有两条直角边，三点构成直角三角形。

直角三角形的外心在斜边中点，斜边是外接圆的一条直径。

求(-2,0)、(1,-√3)的中点坐标，即圆心坐标

a=(-2+1)/2=-1/2
b=-√3/2

求r，即斜边一半长

r=√(3^2+3)/2=√3 (勾股定理)

连接C与圆心，所在直线与圆的两个交点即极值点，过于直白，略。

min(CE)=√7-√3
max(CE)=√7+√3

他这个思路，中考大题可能没法用，总不能说"我猜E的轨迹是圆"吧。此外，解析几
何、圆方程，这些数学工具中考可能不让用。但我收藏了他的思路，万一碰上的不是
大题呢，万一题干写的是"直接写出答案"呢，我真见过。