标题: 反对初中平面几何辅助线的神秘主义

创建: 2026-06-21 21:00
更新:
链接: https://scz.617.cn/misc/202606212100.txt
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等腰Rt△ABC中，∠A=90，AB=AC=10，D为AB上动点，E为AC上动点，满足BD=AE，求
√2*BE+DE最小值。

202606211218.jpg

这是一道三角形中双动点最值题，第一次遇上此题，不知预期解是啥，说一下scz的
自然推导过程。

***

不太习惯处理√2，更习惯处理cos45、sin45。将原式转换成

√2*BE+DE
=√2(BE+√2/2*DE)
=√2(BE+DE*cos45)

三角形中很容易构造cos45、sin45。

自然想到延长BA至D'，使得DA=D'A，将DE转移至D'E。为什么想到这步呢？这种题极
大可能利用两点之间线段最短，原来的BED太折叠了，转移成BED'则舒展得多。

注意，两点之间线段最短，这个准则有个重要得以至于从不强调的前提，两定点之间
线段最短。若一头是动点，此准则并不成立。

现在来看cos45，自然想到构造∠D'EF=45，D'F⊥EF，垂足为F。于是EF=D'E*cos45，
BE+DE*cos45=BE+EF。

若F是定点，BE+EF最小值是BF。思路转换成，证明F是定点。当然，F不一定是定点，
但一路分析下来，F是定点的可能性相当大。

可严格证明(略)，F在AC中垂线上，且△AFC是等腰直角三角形，这样的F必是定点。

但实际上，作图作出F后，我肉眼观察了一下，似乎有AF=CF、AF⊥CF。根据题干，这
几乎是铁板钉钉的，所以并未第一时间严格推导，而是直接作AC中垂线上45度仰角处
的定点，以此为根据地补齐其他辅助线，正向证明后(略)，求BF，再求√2*BF。

若不写前面的分析，看到的将是一种神秘、来路不明的正向辅助线解题过程，只有
How，没有Why。你会疑惑，起初为什么要找这样的定点F，怎么想到的？

知道定点F在哪儿，再去证明它就是要找的定点，并不难。难在不知定点何在时，找
出定点。本例演示了如何自然推导，找出定点。

min(√2*BE+DE)
=√2*BF
=√5*AC
=10√5

***

换个思路，√2*BE相当于以BE为直角边构造等腰直角三角形。以点E为直角顶点构造
等腰Rt△BEG。√2*BE是有了，但怎么搬运DE到G附近呢。G附近必有一个定点H，恒满
足GH=DE，需要找出H。

找出H有两种思路，一种是完全正向推理尝试，另一种比较取巧。说一下后者，因为
定点F找得很顺利，有没有可能通过F间接找H？

以点F为直角顶点构造等腰Rt△BFH，即可定位H，显然这样得到的H也是定点。再以点
E为直角顶点构造等腰Rt△BEG，得到BG=√2*BE。用脚趾头想，都会连接GH，尝试证
明GH=DE。但这种思路下，想证明GH=DE，就不太自然，首先得证∠AFB=∠CFH，
△FAB≌△FCH，CH=AB，略。

我不是这么干的。通过F作出H后，肉眼观察了一下，似乎有AC=CH。大胆假设H是另一
个可用于求解的定点，通过倍长AC得到H，以此为根据地补齐其他辅助线，正向证明
(略)，完全不依赖F。

制造√2*BE时，为什么不以点B为直角顶点构造等腰Rt△BEG？若以点B为直角顶点构
造等腰直角三角形，√2*BE出现在斜边上，斜边两个端点都是动点，完全没机会利用
"两(定)点之间线段最短"。

***

本例不只找到定点F，还找到定点H，均可用于求解。我找F时更自然，倾向于用点F求
解。但我的解可能不是最优解，也不是预期解，无所谓。

之所以写前面的探索，是为展示如何自然而然寻找可用于求解的定点，反对神秘主义。

初中平面几何动点最值，除了两(定)点之间线段最短，常见还有圆外一点过圆心的直
线与圆相交于两点，所谓一箭穿心式。对于后者，圆心就是要找的定点，圆外那点是
另一个定点，动点一般在圆周上。

根据题干找定点，找出定点就胜利一半，另一半是严格证明之。神秘主义的特点之一，
只告诉你这样作图得到定点，不解释TA怎么想到这样作图的。话说回来，可能只是懒，
毕竟大多数时候，我也懒得解释。

若是应届初中生，你可不能懒，哪怕别人告诉你了正确解法，你也得追问，怎么想到
这里的？坚持这个追问，坚持一生，谁赚谁知道。