标题: 已知正整数x、y，x^2+y^2=2025，求x+y

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有点难，据说是哪年西安交大少年班招生题，不知真假。差点当成初中数学题发给小
小四，坑死人。

若是小题，瞪眼法能求一组解，但属于小聪明，不能证明是全解，万一漏解呢？

有个纯数论的快速解法，可推出"x,y|9"。数论解法与瞪眼法不是一回事，大聪明们
就别丢人现眼了。

下面这种解法，其实也用了数论，只不过"不纯"，所以"不快"，但胜在有较多初中生
能理解的思路。

利用不等式(a+b)^2≥0、(a-b)^2≥0及正整数约束，易知:

45<x+y<45√2≈63.64

x、y必是一奇一偶，否则矛盾。x+y是[47,63]区间的奇数:

47,49,51,53,55,57,59,61,63

设x+y=k，联立两个方程

x^2+y^2=45^2
y=-x+k

x^2-kx+(k^2-45^2)/2=0
Δ=k^2-2(k^2-45^2)=2*45^2-k^2

x是正整数，Δ必是完全平方数。

Δ+k^2=2*45^2≡0(mod 3)

根据模3的广义平方剩余(不要求与模互质)，必有

Δ≡0(mod 3)
k^2≡0(mod 3)
k≡0(mod 3) (只有唯一平方根)

k必是3的倍数。在[47,63]区间的奇数中，用"位和法"检查3的倍数，剩下:

51,57,63

2*45^2-51^2=1449
2*45^2-57^2=801
2*45^2-63^2=81

仅当k=63时，Δ=81，是完全平方数。虽然k已是整数，还得验证x、y是整数。

x=(k±√Δ)/2
x=36,27
y=27,36

几何视角，联立两个方程，有解，意味着圆与直线有交点。x、y、k是正整数，k最小
为2；相切时k=45√2；所以k∈[2,45√2]。

k在[2,63]之间时，直线与圆均有交点，但不能保证交点(x,y)是正整数格点。而且k
的区间不够小，前面分析过，k是[47,63]区间的奇数。

几何视角无法真正求解，因为不是连续直线、连续圆求交点，而是离散直线、离散圆
求交点。这是初等数论问题，不是中学几何问题。