标题: 大陆地区18位身份证校验码算法

创建: 2021-09-02 11:42
更新: 2025-11-09 22:22
链接: https://scz.617.cn/python/202109021142.txt

黄健楸贴了个函数

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#
# s取身份证前17位
#
def checksum ( s ) :
    return str( ( 1 - 2 * int( s, 13 ) ) % 11 ).replace( '10', 'X' )
--------------------------------------------------------------------------

>>> ( 1 - 2 * int( '43010119600101131', 13 ) ) % 11
8

虽然我一直知道尾数是校验码，但我从未去关注过这个算法。刚才试了一下，对得上。
居然是用13进制，这么邪门，不知最初选用这个进制的理由是啥。

想了一下13进制这事，补充点讨论。

N=int( s, 13 )
CKSUM≡(1-2N)≡(-13N+1)(mod 11)
ID=13N+CKSUM≡(13N+(-13N+1))≡1(mod 11)

前述算法的另一种等价形式:

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#
# s取身份证前17位
#
def checksum ( s ) :
    return str( ( int( '-' + s + '0', 13 ) + 1 ) % 11 ).replace( '10', 'X' )
--------------------------------------------------------------------------

假设18位身份证号是"430101196001011318"，这是我杜撰的一个身份证号，勿对号入
座。上述算法实际是将字符串"-430101196001011310"(原尾数用0替换)视为13进制整
数，加1，再模11得到余数作为校验码。为了用单个字符表示校验码，模11得到余数
是10时用X代替。

>>> ( int( '-' + '43010119600101131' + '0', 13 ) + 1 ) % 11
8

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#
# 错误算法示例
#
# s取身份证前17位
#
def checksum_error ( s ) :
    return str( int( '-' + s + '1', 13 ) % 11 ).replace( '10', 'X' )
--------------------------------------------------------------------------

checksum与checksum_error不等价，不要误用checksum_error。

>>> int( '-' + '43010119600101131' + '1', 13 ) % 11
'6'

校验18位身份证号时，进行如下运算，结果应该恒为1

>>> int( '430101196001011318', 13 ) % 11
1

由于校验码(尾数)可能是X，无法如此简写，但数学原理如此。

初等数论中定义有"模n的r次同余方程"

设n是正整数，a_i是整数，a_r不是n的倍数(包括0)，f(x)是r次多项式:

f(x)=a_r*x^r+a_r_1*x^(r-1)+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0

则:

f(x)≡0(mod n)

称作模n的r次同余方程。

由于a_0可以是[0,n)区间的任意整数，所以"模n的r次同余方程"可以写成:

f(x)≡m(mod n)

同余m不一定要求是0。

令

r=17
n=11
m=1

a_17至a_0依次对应左起18位身份证数字

f(x)=a_17*x^17+a_16*x^16+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0

求解"模11的17次同余方程":

f(x)≡1(mod 11)
a_17*x^17+a_16*x^16+...+a_2*x^2+a_1*x+a_0≡1(mod 11)

以"430101196001011318"为例，求解同余方程:

4x^17+3x^16+x^14+x^12+x^11+9x^10+6x^9+x^6+x^4+x^3+3x^2+x+8≡1(mod 11)

可用WolframAlpha求解高次同余方程:

https://www.wolframalpha.com/

在输入框中直接粘贴前述同余方程，点击"等号"求解。

也可用SageMath求解高次同余方程:

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/home/scz/src/sage/sage

%autoindent off
--------------------------------------------------------------------------
R.<x>   = PolynomialRing(GF(11))
f       = 4*x^17+3*x^16+x^14+x^12+x^11+9*x^10+6*x^9+x^6+x^4+x^3+3*x^2+x+8
h       = f - 1
# print( f )
# print( h )
solutions   = h.roots( multiplicities=True )
if solutions :
    roots   = [root[0] for root in solutions]
    for root in sorted( roots ) :
        print( f"x≡{root}(mod 11)" )
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上例有两个解，其中2是最小正整数解

x≡2(mod 11)
x≡3(mod 11)

2是解时，2+11k也是解。

Python的int()的第二形参对应base，身份证号会出现2以上数字，base不能用2，可
用2+11=13。在有限域GF(11)上，13与2是等价的。单说base，确实可以说18位身份证
号是用2进制；之前有人说，就是2进制，误以为TA在装B，是我肤浅了。不过，进制
一般包含base及单个数位可用符号，2进制可用符号只有0、1，因此说用13进制更靠
谱。

假设将来身份证号进一步升位，冪变、模变、同余变，求解高次同余方程，仍可套用
前述算法框架。没看过18位身份证号原始算法文档，仅出于数学爱好瞎讨论一番，万
勿当真。

***

2025.11.8

有些讲解18位身份证校验码算法的文章，出现下述写法:

S=7a1+9a2+10a3+5a4+8a5+4a6+2a7+a8+6a9+3a10+7a11+9a12+10a13+5a14+8a15+4a16+2a17

上式a1对应身份证号最左的数字，a17对应校验码左侧的数字，a18对应校验码。a1到
a17的系数实际是2(或13)的幂模11的结果:

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2^17 % 11 = 7  // pow(2, 17, 11)
2^16 % 11 = 9  // pow(2, 16, 11)
...
2^1 % 11 = 2   // pow(2, 1, 11)
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此法求出"S % 11"后，再查一张表得到校验码:

S % 11 => 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
a18    => 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2  <= 校验码

并不需要查表，实际有

a18 = ( 1 - S ) % 11

其数学原理是:

N=int( s, 13 )
S≡13N≡2N(mod 11)
CKSUM≡(1-2N)≡(1-S)(mod 11)

S     => 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 <= 2N % 11
CKSUM => 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2  <= ( 1 - S ) % 11

如下Python代码等价于checksum()

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def f1 ( s, base=2, module=11 ) :
    a   = [int(c) for c in s]
    t   = sum(a[i] * base ** (17 - i) for i in range(17))
    return ( 1 - t ) % module


def f2 ( s, module=11 ) :
    a   = [int(c) for c in s]
    w   = [7, 9, 10, 5, 8, 4, 2, 1, 6, 3, 7, 9, 10, 5, 8, 4, 2]
    t   = sum(a[i] * w[i] for i in range(17))
    return ( 1 - t ) % module

#
# 取'430101196001011318'前17位
#
s   = '43010119600101131'
f1(s)
f1(s,13)
f2(s)
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直接用7、9这样的系数，避免高次幂运算，只有乘法运算，有利于手工计算、电路设
计。但对于编程，意义有限。对于理解数学原理，更不适用。